日々の暮らしと時々の数学

くだらないチラ裏スペース。時々数学のことを書く。

2べきの数と3べきの数は隣接するか？

すーがく

過去の記事で、自然対数log(2)を計算した。
br-h2gk.hatenablog.com
そのときの2つめの方法について、キーポイントとなっていたのは、
2と3と5のみを素因数にもつ連続する2数の組を考えることだった。

もし、これがもっともっと大きい数で見つかるなら、
よりよい近似の分数を見つけることができる。

そこで、まず最も簡単と思われる場合の

◆問題◆
$3^m-2^n=\pm 1$ の自然数解を見つけよ。

を考えてみよう。

注意として、隣接する2数は互いに素だから、
2と3両方を素因数にもつもの同士などは隣接しない。

まず、単純に $(3^m,2^n)=(3,4),(9,8)$ というものが見つかるが、
2のべきと3のべきを並べていくと、これらが隣接する場合は
見当たらない。

そこで、これ以外に解はないのか、ということを考えよう。

答えとしては、これ以上に解はない。
それを証明する。
＜証明＞
$2^n\leq 8$ まで具体的に調べて、 $n\geq 4$ と仮定してよい。
（１） $3^m-2^n=+1$ について。
$(\bmod \ 4)$ を考えると $(-1)^m=1$ なので、 $m$ は偶数と分かる。

ゆえに、 $m=2k$ とおくと $(3^k-1)(3^k+1)=2^n$ が
成立することとなるが、2べきの数の差が2となるのは2と4の組
しかないので、 $k=1$ だがそれにより $n=3$ となって不適。

（２） $3^m-2^n=+1$ について。
同じような考え方をする。
$(\bmod \ 3)$ を考えると $-(-1)^n=-1$ なので、 $n$ は偶数と分かる。

ゆえに、 $n=2l$ とおくと $(2^l-1)(2^l+1)=3^m$ が
成立することとなるが、3べきの数の差が2となるのは1と3の組
しかないので、 $l=1$ となるが、 $n=2$ となって不適。
＜証明終了＞

今回はとりあえずここまでであっさり記事を終えておき、
さらにモチベーションが湧けば、3と5やその他の組、
また2と3と5のときなどにどのように広げられるか考える。