数学的な3倍角の公式の覚え方はチェビシェフがいい

いつも、3倍角の公式がいまいち覚えられない。
確認するまでもないが、3倍角の公式は次である：

◆3倍角の公式◆
${\cos{3\theta}=4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta} \\ \sin{3\theta}=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta}}$

これがいつもどこの係数が3でどこが4か、
正負の符号どっちがどっちか分からなくなってしまう。

これを論理的に思い出せる方法を考える。

たとえば正弦定理は初め、 $2R=\frac{a}{\sin{A}}$ の分数の分母分子が分からなったが、
これは両者が長さの関係式であることや、
辺の長さより外接円の直径の方が明らかに長いことを
理解してからは、迷わなくなった。

このように、覚えるなら覚えるで正確に覚えたい。
符号と係数の組を間違わない個人的な覚え方のルールを構築しようと考えたところ、
チェビシェフ多項式の基本性質に帰着すると良いと気づいた。

${\cos{3\theta}}$ はチェビシェフ多項式の性質に結び付けよう。

定義は面倒なのでwikipediaなど参照。
まずチェビシェフ多項式 ${T_n(x)}$ の漸化式は、

${ \cos{(n+1)\theta}+\cos{(n-1)\theta}=2\cos{n\theta}\cos{\theta} }$

という角の平均 ${n\theta}$ 、平均からのずれ ${\theta}$ の和積により、

${ T_{n+1}(x)=2x\, T_n(x)-T_{n-1}(x) }$

と言う風に得られた。（ものすごく大事）

これと、 ${T_0(x)=\cos{(0\cdot \theta)}=1,T_1(x)=x}$ に注意して、
${T_n(x)}$ の最高次であるn次の係数は ${2^{n-1}}$ であるとわかる。（ただし ${n>0}$ ）
また、nの奇偶に合わせた奇関数と偶関数となることがわかる。

だから、 ${\cos{3\theta}}$ を ${\cos{\theta}}$ の多項式だと思うと
3次と1次の項しか出てこず、
( ${\cos^3{\theta}}$ の係数) ${=2^2=4}$
と思いだせる。

さらに、チェビシェフ多項式の性質として、
${\cos{(n\cdot 0)}=1}$ だから、 ${T_n(1)=1}$ 、言い換えると
各次数の係数を足していくと1となる、というものがある。

だから、
( ${\cos{\theta}}$ の係数) ${+4=1}$
によって、 ${\cos{\theta}}$ の係数が-3と思いだせる。

そして、 ${\sin{3\theta}}$ については
$\theta\to\frac{\pi}{2}-\theta$ によって、
符号を入れ替え、 ${\cos\leftrightarrow\sin}$ により、
単純に導ける。

以上の覚え方をまとめよう：

◆チェビシェフ多項式の性質◆
${T_{n+1}(x)=2x\, T_n(x)-T_{n-1}(x)}$ (n+1とn-1の和積)により、

最高次であるn次の係数は ${2^{n-1}}$ (n>0)

${T_n(x)}$ は奇関数と偶関数が繰り返され、nの奇偶と一致

また、 ${\theta =0}$ を考えることで、

${T_n(1)=1}$

これを用いて、

◆3倍角の公式の覚え方◆

${\cos{3\theta}}$ は ${\cos{\theta}}$ の3次の奇関数

3次の係数は ${2^{3-1}=4}$ である。

1次の係数は ${T_n(1)=1}$ により1-4=-3

sinは $\theta\to\frac{\pi}{2}-\theta$ により符号とcos、sinを入れ替える

これなら高校生にも勧められそう。
自分としてはこれが最もしっくりきた。

11/28 追記
いままでやってきたことを振り返ってみると、
余弦の和積がポイントになっていた。

だから、単純にその和積を使うと、
${\cos{3\theta}+\cos{\theta}=2\cos{2\theta}\cos{\theta}}$
なので、
${\cos{3\theta}=\cos{\theta}(2\cos{2\theta}-1)}$
${=\cos{\theta}(4\cos^2{\theta}-3)}$
とできる。