導関数が不連続なものとは？（その２） - 日々の暮らしと時々の数学

今回は前回に引き続き、導関数が不連続になってしまう
場合について考えよう。

前回は、導関数が不連続なら、それはその点の近傍の
左右のいずれかで振動しているしかない、ということが分かった。

また、その例として $\displaystyle f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}$ という典型的なものを考えた。
さて、この例を振り返った時、
導関数が有界な範囲で振動しているが、
次の問題はどうだろうか。

◆問題◆
実数全体で定義された関数 $f(x)$ が以下のような条件を満たすものはあるか？
あるなら例を構成し、ないならないことを証明せよ：

$f(x)$ は実数全体にわたって微分可能である。

$f'(x)$ は $x=0$ を除き連続である。

$f'(x)$ は $x=0$ の任意の近傍上で有界でない。

答えはこの下。

答え：存在する。

追記
めちゃくちゃ簡単な例があります。
なんで $\displaystyle f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}$ の導関数が
有界になってしまったか、さえ考えれば終わりです。

そう、答えとして $\displaystyle f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x^2}}$ があります。
グラフは
f:id:tekitou5353:20151209180555g:plain:h350
であり、導関数のグラフは
f:id:tekitou5353:20151209180613g:plain:h350
である。

しかもこれは、原点を除き無限回微分可能となっている。

以下ではごちゃごちゃやっていますが、
簡単な事に気づかなかった様を生温かく見守ってください：

前回の $\displaystyle f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}$ という例が
なぜ導関数が振動しているにもかかわらず、 $x=0$ で微分可能だったのか。
それは、 $\displaystyle f(x)=x^2\times (\mbox{有界な変な関数})$ という
形をしていることに由来している。
つまり、ローカルでは不穏な動きをする
有界な関数が大切なのである。

そして、そのローカルで不穏な動きについて、
接線の傾きは任意に大きく出来うることが考えられる。

だから、次のような構成をすればうまくいくことが分かる。
$x=0$ の近傍で病的な振る舞いをする有界な関数 $c(x)$ を用いて、
${\Delta}(x)=x^2c(x)(x\neq 0),{\Delta}(0)=0$ という形を
最終的に作る。

＜Step1＞
まず、次のような性質をもつ関数を作る。

区間 $\displaystyle\left[ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$ において微分可能で $\displaystyle x=\frac{1}{n+1}$ で微分係数が $(n+1)^3$ であり、 $\displaystyle x=\frac{1}{n}$ で微分係数が $-n^3$ である。
端点を除く区間では正で、端点で0となる。

例えば $n=1$ のときの場合はこのような調子である。
f:id:tekitou5353:20151208210225g:plain:h350

このようなキャップ状の関数を作り、これらの区間で $(-1)^n$ を掛けて互い違いにしながら貼り合わせる。
これにより、区間 $(0,1]$ について定めたが、区間 $(-\infty ,0 ]$ では常に0、
区間 $(1,\infty )$ では $(1-x)$ によって接続する。
これらの張り合わせはどれも滑らかである。
こうやって定めた関数を $r(x)$ とおく。
このグラフは次のようになる。
f:id:tekitou5353:20151208210943g:plain:h350

＜Step2＞
つぎに、どの $n\in \mathbb{N}$ においても $\displaystyle x=\frac{1}{n}$ 微分係数を
変えないで有界性を保証するように調整する。
f:id:tekitou5353:20151208211913g:plain:h350

これにより、 ${\Delta}(x)=x^2c(x)(x\neq 0),{\Delta}(0)=0$ を作り出す。
すると、 $x\neq 0$ において ${\Delta}'(x)=x^2c'(x)+2xc(x)$ だが、
まず後ろの項は $x\times (\mbox{有界な関数})$ なので悪さをせず、
$x=0$ の十分近傍では無視できる。
そして手前の項は、 $\displaystyle \left( \frac{1}{n}\right)^2c'\left(\frac{1}{n}\right) = (-1)^{n+1}n$ となり、
有界でない振動を実現する。
このようにして完成した関数のグラフは以下のようになる。
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緑のグラフは $\pm x^2$ である。
なんか $x=1$ でなめらかにつながっていないように見えるが、
ちゃんと拡大すればなめらかに見える。

これに基づいて、それぞれのステップを実現する関数
（すでに上でイメージ図として例に挙げているもの）を
構成していこう。

まず、Step1のもの。
構成するにあたり、まず関数 $g(x)=(1-nx)\{ (n+1)x-1\}$ というのを見てみよう。
これが典型的なキャップ型の例だと思うが、左右対称なキャップなので、
端点で微係数の絶対値を違えることができない。

そこで、考えている区間で正となる関数 $L(x)$ を掛けて $h(x)=g(x)L(x)$ としてみる。
すると、微係数以外の条件は満たされたままであり、微係数については
積の微分において、端点でgは消えることに注意すると
$\displaystyle h'\left( \frac{1}{n}\right) =-n\cdot \frac{1}{n}L\left( \frac{1}{n}\right) =-L\left( \frac{1}{n}\right),$
$\displaystyle h'\left( \frac{1}{n}\right) =(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}L\left( \frac{1}{n+1}\right) =L\left( \frac{1}{n+1}\right)$
である。

したがって、 $\displaystyle L\left( \frac{1}{n}\right) =n^3,\ L\left( \frac{1}{n+1}\right) =(n+1)^3$ と
なる正の値をとる関数を考えればよいので、一次関数で対応できる。
（別に一次関数でなくてもよい）
具体的に計算するならば、
$L(x)=-n(n+1)(3n^2+3n+1)x+n(n^3+6n^2+4n+1)$
である。

つぎに、Step2のもの。
実はこれ、 $c(x)=\sin{r(x)}$ という単純な方法によって、
$c'(x)=r'(x)\cos{r(x)}$ となって、
各 $\displaystyle \frac{1}{n}$ で $r(x)$ は0となっていたから、
自然数の逆数の点で微分係数を変えずに有界に変換できる。
（ちなみにもしStep1で作った $h(x)$ が有界になっていてくれたら
このような変換をかますことはないのだが、
各逆数の区間の中点を考えると有界にはならないことが分かる。
中点ではgからはnの-2乗のオーダーが、
Lからは3乗のオーダーが出てくるから。）

以上より

◆具体例◆
与えられた問に対する具体例として次が挙げられる：
$\displaystyle {\Delta}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin{[ (-1)^{n}(1-nx)\{(n+1)x-1\} } L(x) ] & \left( x\in \left[ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right] \right) \\ \sin{(x-1)} & (x>1) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right.$
で、ここで
$L(x)=-n(n+1)(3n^2+3n+1)x+n(n^3+6n^2+4n+1)$
である。（グラフは一番下の画像）