2015-12-17

有限体F_2,F_4,F_8,F_16の構造決定

すーがく

前回の予告通り、 $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_4,\dots ,\mathbb{F}_{64}$ について述べる。
タイトルの通り、 $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_4,\dots ,\mathbb{F}_{16}$ に関しては構造に踏み込むが、
$\mathbb{F}_{32},\mathbb{F}_{64}$ は生成元の満たす最小多項式を1つ求める程度にする。
$\mathbb{F}_4$ はそこそこ例として出てきやすいが、
$\mathbb{F}_8$ はあまり見ないので、これを一番詳しく紹介する。

また、アルティン＝シュライヤー拡大やクンマー拡大の理論を利用する
こともあるが、知らなくても分かる範囲のことしかやらない。
またこれらについては補足的に次回以降に
ガロアコホモロジーを用いた証明をつける（予定）。

$\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
それ以降について考える。
また $\overline{\mathbb{F}}_2$ を固定する。

2015-12-16

有限体上の既約多項式の数

すーがく

いろいろあって有限体を見ていたら、
Wikipediaの既約多項式のページを見ていたら、
その有限体上の既約多項式の数についての項目があった。

それは

◆定理◆
有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の $n$ 次のモニックな既約多項式の数は、
$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu \left( \frac{n}{d}\right) q^d$
で与えられる。ただし、 $\mu (n)$ はメビウス関数である。

というものである。

これの証明が、arXiv:1001.0409にある。
（Sunil K. Chebolu, Jan Minac,Counting irreducible polynomials
over finite fields using the inclusion-exclusion principle）

今回はこの証明を紹介する。

使う議論は有限体に関する基本的な知識のみで、
この証明について著者は
「驚くべきことに、今回の記事のシンプルな議論はいくらかの
専門家は知っているかもしれないが、教科書には載っていない」
と書いている。

確かにシンプルな議論だった。

2015-12-13

どくしょ記録「紙の月」角田光代著

どくしょ

今日は角田光代著「紙の月」を読み終えた。
読み返したいけど読み返したくないなあ。
★★★★☆

2015-12-12

2べきの数と3べきの数は隣接するか？

すーがく

過去の記事で、自然対数log(2)を計算した。
br-h2gk.hatenablog.com
そのときの2つめの方法について、キーポイントとなっていたのは、
2と3と5のみを素因数にもつ連続する2数の組を考えることだった。

もし、これがもっともっと大きい数で見つかるなら、
よりよい近似の分数を見つけることができる。

そこで、まず最も簡単と思われる場合の

◆問題◆
$3^m-2^n=\pm 1$ の自然数解を見つけよ。

を考えてみよう。

注意として、隣接する2数は互いに素だから、
2と3両方を素因数にもつもの同士などは隣接しない。

まず、単純に $(3^m,2^n)=(3,4),(9,8)$ というものが見つかるが、
2のべきと3のべきを並べていくと、これらが隣接する場合は
見当たらない。

そこで、これ以外に解はないのか、ということを考えよう。

2015-12-09

導関数が不連続なものとは？（その２）

すーがく

今回は前回に引き続き、導関数が不連続になってしまう
場合について考えよう。

前回は、導関数が不連続なら、それはその点の近傍の
左右のいずれかで振動しているしかない、ということが分かった。

また、その例として $\displaystyle f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}$ という典型的なものを考えた。
さて、この例を振り返った時、
導関数が有界な範囲で振動しているが、
次の問題はどうだろうか。

◆問題◆
実数全体で定義された関数 $f(x)$ が以下のような条件を満たすものはあるか？
あるなら例を構成し、ないならないことを証明せよ：

$f(x)$ は実数全体にわたって微分可能である。

$f'(x)$ は $x=0$ を除き連続である。

$f'(x)$ は $x=0$ の任意の近傍上で有界でない。

答えはこの下。

2015-12-08

導関数が不連続なものとは？（その１）

すーがく

直感的には正しそうな問題

◆問題1◆
Uを ${\mathbb{R}}$ 上の空でない開集合として、 ${a\in U}$ を任意にとる。
関数 ${f:U\longrightarrow \mathbb{R}}$ が ${x=a}$ の近傍で微分可能で、
導関数が ${x=a}$ の近傍で ${x=a}$ を除き連続だと分かっている。
このとき、導関数は ${x=a}$ でも連続だろうか。

を考えよう。

実は、この答えはＮｏである。
例 $f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}+x}(x\neq 0),f(0)=0$ は
実数全体で微分可能であって、特に ${f'(0)=1}$ であるが、そのまわりで
無限に振動していて ${x=0}$ で連続ではない。
（この先の命題の証明のステップ2.がイメージできるように
xを足しているが、普通はxを省いたものが挙げられる）

グラフは青がこのグラフで、緑がx=0における接線である。
f:id:tekitou5353:20151208130803g:plain:h400

2015-12-06

ln(2)の下5桁を手計算しよう（その２）

すーがく

前回の命題を用いると

◆評価4◆
$\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+\frac{14}{3\cdot 31^3}+\frac{10}{3\cdot 49^3}<\ln{2}$ で
誤差は $\frac{7}{5\cdot 31^4\cdot 15}+\frac{5}{5\cdot 49^4\cdot 24}+\frac{1}{161^2\cdot 80}$ 未満

が得られる。

まず、自分の中での「手計算できる」の基準をはっきりしておく。
基本的に積は3桁同士まで、商も割る数は極力３桁以内。
ただし、152000のように、本質的に計算量がそれらと変わらないものは除く。

そこで、3次以上の細かい計算を上手に評価し、
計算を省略する。

次の評価を試みる。

◆評価5◆

$1.5645\cdot 10^{-4}<\frac{14}{3\cdot 31^3}=1.566468\cdots \times 10^{-4}<1.571\cdot 10^{-4}$

$0.2833\cdot 10^{-4}<\frac{10}{3\cdot 49^3}=0.283328\cdots \times 10^{-4} <0.2838\cdot 10^{-4}$

$\frac{7}{5\cdot 31^4\cdot 15}+\frac{5}{5\cdot 49^4\cdot 24}+\frac{1}{161^2\cdot 80}=5.905\cdots\times 10^{-7}<6.5\cdot 10^{-7}$

ゆえに
$\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8478\cdot 10^{-4}<\ln{2}<\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8613\cdot 10^{-4}$
が言える。
これから $\ln{2}=0.69314\cdots$ が分かる。