ln(2)の下5桁を手計算しよう（その２） - 日々の暮らしと時々の数学

前回の命題を用いると

◆評価4◆
$\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+\frac{14}{3\cdot 31^3}+\frac{10}{3\cdot 49^3}<\ln{2}$ で
誤差は $\frac{7}{5\cdot 31^4\cdot 15}+\frac{5}{5\cdot 49^4\cdot 24}+\frac{1}{161^2\cdot 80}$ 未満

が得られる。

まず、自分の中での「手計算できる」の基準をはっきりしておく。
基本的に積は3桁同士まで、商も割る数は極力３桁以内。
ただし、152000のように、本質的に計算量がそれらと変わらないものは除く。

そこで、3次以上の細かい計算を上手に評価し、
計算を省略する。

次の評価を試みる。

◆評価5◆

$1.5645\cdot 10^{-4}<\frac{14}{3\cdot 31^3}=1.566468\cdots \times 10^{-4}<1.571\cdot 10^{-4}$

$0.2833\cdot 10^{-4}<\frac{10}{3\cdot 49^3}=0.283328\cdots \times 10^{-4} <0.2838\cdot 10^{-4}$

$\frac{7}{5\cdot 31^4\cdot 15}+\frac{5}{5\cdot 49^4\cdot 24}+\frac{1}{161^2\cdot 80}=5.905\cdots\times 10^{-7}<6.5\cdot 10^{-7}$

ゆえに
$\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8478\cdot 10^{-4}<\ln{2}<\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8613\cdot 10^{-4}$
が言える。
これから $\ln{2}=0.69314\cdots$ が分かる。

つまり、誤差項を見るに、1.と2.が正確に計算できたなら
少なくとも $10^{-6}$ 以内に収めることができる。

この評価での誤差は、
1.は $6.5\cdot 10^{-7}$ 、
2.は $0.5\cdot 10^{-7}$
である。

1.のうまい評価が出来なかったので、合わせて $1.4\cdot 10^{-6}$ 未満、となった。
それぞれ見て行こう。

＜評価5-1＞
まず、
$\frac{14}{3\cdot 31^3}>\frac{14}{10^5}$
が簡単に見てとれるから、これらの誤差を評価しよう。

まず下から。
$\frac{14}{3\cdot 31^3}-\frac{14}{10^5}=\frac{14(10^5-3\cdot 31^3)}{3\cdot 31^3\cdot 10^5}$

$=\frac{14(10\cdot 100\cdot 100-93\cdot 961)}{3\cdot 31^3\cdot 10^5}$

$=\frac{14(10\cdot 103.9\cdot 96.1-93\cdot 961)+14\cdot 10\cdot 3.9^2}{3\cdot 31^3\cdot 10^5}$

$>\frac{14\cdot 10.9}{3\cdot 31\cdot 10^5}+\frac{14\cdot 10\cdot 15}{10^10}$

$=\frac{14\cdot 10.9}{93\cdot 10^5}+2.1\cdot10^{-7}$

ここで、 $\frac{100}{93}=\frac{1}{1-7/100}=1+0.07+0.07^2+\cdots>1.07$ だから、

$>\frac{14\cdot 10.9\cdot 1.07}{10^7}+2.1\cdot10^{-7}$

$>\frac{14\cdot 1.16}{10^6}+2.1\cdot10^{-7}=\frac{16.45}{10^6}$
が従う。よって
$\frac{14}{3\cdot 31^3}>1.5645\cdot 10^{-4}$
が言えた。

次に上から。
$3\cdot 31^3=93\cdot 961>93\cdot 960=(100-7)(100-4)10=100000-11000+280$
なので、
$\displaystyle \frac{14}{3\cdot 31^3}-\frac{14}{100000}=\frac{14(100000-3\cdot 31^3)}{3\cdot 31^3\cdot 100000}$
$\displaystyle <\frac{14\cdot 11}{3\cdot 31^3\cdot 100}-\frac{14\cdot 280}{3\cdot 31^3\cdot 100000}$
いつもの原理で $31\cdot 30>33\cdot 28$ として
$\displaystyle <\frac{1}{60\cdot 31^2}-\frac{4000}{10^{10}}<\frac{1}{60\cdot 960}-4\cdot 10^{-7}$

$\displaystyle <\frac{1+1/24}{6000}-4\cdot 10^{-7}<\frac{1.05}{6000}-4\cdot 10^{-7}=1.71\cdot 10^{-5}$
が従う。よって、
$\frac{14}{3\cdot 31^3}<1.571\cdot 10^{-4}$
が言えた。

＜評価5-2＞
まず、
$\frac{10}{3\cdot 49^3}>\frac{10}{3\cdot 50^3}=0.2666\cdots\times 10^{-4}$
が簡単に見てとれるから、これらの誤差を評価しよう。

まず下から。
$\frac{10}{3\cdot 49^3}-\frac{10}{3\cdot 50^3}=\frac{10(50^3-49^3)}{3\cdot 50^3\cdot 49^3}$

$=\frac{10(50^2+50\cdot 49+49^2)}{3\cdot 50^3\cdot 49^3}$

$>\frac{10\cdot 49\cdot 50}{50^3\cdot 49^3}$ （相加相乗）

$=\frac{10}{50^2\cdot 49^2}$
ここで、 $\left(\frac{50}{49}\right)^2=\left(\frac{1}{1-1/50}\right)^2>\left(1+\frac{1}{50}\right)^2>1.04$ だから、
$>\frac{10\cdot 1.04}{50^4}=1.664\cdot 10^{-6}$
が従う。
よって
$\frac{10}{3\cdot 49^3}>0.2833\cdots\times 10^{-4}$
が言えた。

次に上から。
$\frac{10(50^2+50\cdot 49+49^2)}{3\cdot 50^3\cdot 49^3}<\frac{10\cdot 3\cdot 50^2}{3\cdot 50^3\cdot 49^3}$

$<\frac{10}{50\cdot 49\cdot 49^2}<\frac{10}{50\cdot 49\cdot 48\cdot 50}$

$<\frac{10}{50^3\cdot 47}=\frac{10}{50^4}\left(1+\frac{3}{50}+\frac{3^2}{50^2}+\cdots\right)$

$<\frac{1.6\cdot 1.07}{10^6}=1.712\cdot 10^{-6}$
とできて、
$\frac{10}{3\cdot 49^3}<0.2838\cdot 10^{-4}$
が得られた。

＜評価5-3＞
まず、
$\displaystyle \frac{1}{161^2\cdot 80}<\frac{1}{160^2\cdot 80}=\frac{1}{2^{11}\cdot 10^3}=\frac{5}{1024\cdot 10^4}<5\cdot 10^{-7}$
が簡単にわかる。

これ以外の項は極めてこの項より小さいので、
比を評価する。

$\displaystyle \frac{5}{7}\cdot 31^4\cdot 15>\frac{5}{14}\cdot 30^5>\frac{30^5}{3}$
$\displaystyle =81\cdot 10^5$
なので、これは $2\cdot 10^6$ の4倍より大きい。

$\displaystyle 49^4\cdot 24>\frac{48^5}{2}=2^{19}\cdot 3^5=2^{19}\cdot 243$
$\displaystyle >2^{19}\cdot 240=2^{22}\cdot 30=60\cdot 2\cdot (2^{10})^2>60\cdot 2\cdot 10^6$
なので、これは60倍より大きい。

したがって、
$\frac{7}{5\cdot 31^4\cdot 15}+\frac{5}{5\cdot 49^4\cdot 24}+\frac{1}{161^2\cdot 80}<\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{60}+1\right) 5\cdot 10^{-7}$
$=1.266\cdots\times 5\cdot 10^{-7}<6.5\cdot 10^{-7}$
が分かった。

以上の話から
$\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8457\cdot 10^{-4}<\ln{2}<\frac{14}{31}+\frac{10}{49}+\frac{6}{161}+1.8653\cdot 10^{-4}$
が分かるが、

分数の項を計算していくことで、
$0.69314639\cdots <\ln{2}< 0.69314774\cdots$
が得られる。

これにより、 $\ln{2}=0.69314\cdots$ が決定する。
最初の誤差の考察から、正確にやると誤差が ${10^{-6}}$ 未満までは
分かっているので、うまくいけばこの項までで下6桁目を決定出来る可能性があるが、
実際に電卓で計算すると、0.693146と0.693147をまたいでしまい、
残念ながら、決定できない。