(1+1/x)^xの単調性について - 日々の暮らしと時々の数学

(1+1/x)^xを微分を使わずに単調性を証明する。
目的は、
${\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^x =\lim_{n\to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n =e }$
を得ることである。
そのため指数対数の微分を使いたくない。

この極限は、n=[x](ガウス記号)を用いれば一致が
示せるので、それでいいじゃないか、という話であるが、
(1+1/n)^nは有界単調列という論理を用いているから、
(1+1/x)^xに単調性を広げられないかと考えた。

(1+1/n)^nの単調性は二項展開を使っていた。
その証明は次を用いていた。

◆補題1◆
${n}$ を自然数、 ${ 0 < {i}\leq n}$ として
${\displaystyle \frac{ {}_n{\rm C}_i}{n^i} < \frac{{}_{n+1}{\rm C}_{i}}{(n+1)^i} }$
が成立する。

＜証明＞
${\displaystyle \frac{{}_n{\rm C}_i}{n^i} =\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{n^i} =1\cdot\left( 1-\frac{1}{n}\right) \left( 1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left( 1-\frac{i-1}{n}\right) }$
であって、
${\displaystyle\frac{{}_{n+1}{\rm C}_i}{(n+1)^i} }$ はこれのnをn+1に変えたものである。
各j=1,2,...,i-1で $1-\frac{j}{n}<1-\frac{j}{n+1}$ なので、
補題が得られる。
＜証明終了＞

自然数の場合の単調性を
ちょっといじれば有理数の単調性が言えた。

◆補題2◆
関数 $f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ は ${\mathbb{Q}_{>0}}$ 上で単調増加。

＜証明＞
分母を通分できることを考えれば、
${{n}<{m},p}$ を自然数として、
${\displaystyle \left( 1+\frac{p}{n}\right) ^{\frac{n}{p}} < \left( 1+\frac{p}{m}\right) ^{\frac{m}{p}} }$ を示せばよいが、
p乗して
${\displaystyle \left( 1+\frac{p}{n}\right) ^{n} < \left( 1+\frac{p}{m}\right) ^{m} }$ で十分である。
このとき、
${\displaystyle \left( 1+\frac{p}{m}\right) ^{m} =\sum_{i=0}^{m}\frac{{}_m{\rm C}_i}{m^i}p^i >\sum_{i=0}^{n}\frac{{}_m{\rm C}_i}{m^i}p^i >\sum_{i=0}^{n}\frac{{}_n{\rm C}_i}{n^i}p^i =\left( 1+\frac{p}{n}\right) ^{n} }$
により補題は示された。
＜証明終了＞